Kun puhutaan geometrialla tapahtuvasta aritmetiikasta, tarkoitetaan tällöin tietenkin klassista harpilla ja viivaimella tapahtuvaa geometriaa. Jos janojen pituudet ajatellaan lukuina, niillä voidaan laskea geometrisesti. Yhteen- ja vähennyslasku on helppo toteuttaa siirtämällä janoja harpin avulla samalle suoralle. Kerto- ja jakolasku seuraavat yhdenmuotoisuudesta. Niistä on hyvä huomata se, että niitä ei voida laskea tietämättä yksikköjanaa, vaikka tämä onnistuikin yhteen- ja vähennyslaskussa. Näiden lisäksi voidaan kahden luvun tulon neliöjuuri laskea geometrisesti. Tämä perustuu siihen, että yhdenmuotoisuuden mukaan a/h = h/b, josta seuraa, että ab = vh. Yksittäisenkin luvun neliöjuuri voidaan laskea jos tiedetään yksikköjana.
Oletetaan, että on annettu yksikköjana. Reaalilukua
x sanotaan piirrettäväksi, mikäli
tästä voidaan äärellisellä
määrällä askelia muodostaa jana, jonka pituus
on . Edellä esitetyistä
laskutoimituksista huomaa, että ainakin kaikki
rationaaliluvut ovat piirrettäviä. Tutkitaan, miten
piirrettäviä lukuja voisi saada lisää, jos
oletetaan, että alussa on käytössä
rationaalikoordinaatit. Ensimmäisessä tapauksessa
voidaan piirtää kaksi suoraa, ja katsoa missä ne
leikkaavat. Tällöin syntyy ensimmäisen asteen
yhtälö, jonka ratkaisemiseen yhteen- vähennys,
kerto- ja jakolasku riittävät. Jos tutkitaan
ympyrän ja suoran tai kahden ympyrän
leikkauspistettä, saadaan toisen asteen yhtälö.
Tällöin syntyy toisen asteen yhtälö, ja
tarvitaan lisäksi myös neliöjuurta. Kun lopulta
ollaan generoitu halutut kaksi pistettä, otetaan näiden
etäisyys Pythagoraan lauseella. Tähänkin tarvitaan
vain yhteen, kerto- ja jakolaskua. Tästä voidaan
huomata, että itse asiassa edellä esitetyt viisi
laskutoimitusta riittävät kaikkien piirrettävien
lukujen kuvaamiseen. Ei ole kuitenkaan aivan helppoa
päätellä lukua katsomalla voidaanko sitä
esittää näiden operaatioiden avulla. Esimerkiksi
monimutkaisen näköinen luku
, joka näyttäisi mahdottomalta piirtää,
onkin itse asiassa vain toisessa muodossa esitetty kultaisen
leikkauksen suhde
, joka on
piirretävä1).
Juuri tätä kultaista
leikkaustahan käytettiin Seepian 3. numerossa
säännöllisen viisikulmion muodostamiseen.
Tämän kaltaisten lukujen käsittelyyn tarvitaan tietynlaisia työkaluja. Kunta on rakenne, jolle pätevät seuraavat, reaalilukujen aksioomia muistuttavat ehdot:
Kunnan F kaikille alkioille a ja b on määritelty a+b ja a×b siten, että a+bÎF ja a×bÎF
Kommutatiivisuus: a+b = b+a ja a×b = b×a
Assosiatiivisuus: (a+b)+c = b+(a+c) ja (a×b)×c = b×(a×c)
Distributiivisuus: a×(b+c) = a×b+a×c ja (a+b)×a = a×c+b×c
On olemassa alkio (merkitään esimerkiksi 0) siten, että 0+x = x+0 = x kaikilla x.
Jokaiselle alkiolle x on olemassa käänteisalkio y yhteenlaskun suhteen siten, että x+y = y+x = 0.
On olemassa alkio (merkitään esimerkiksi 1) siten, että 1×x = x×1 = x kaikilla x
Jokaiselle alkiolle x ¹ 0 on olemassa käänteisalkio
y kertolaskun suhteen siten, että x×y =
y×x = 1. Kuntia ovat esimerkiksi
,
ja
.
Jos kunta E sisältää kunnan F,
sanotaan kuntaa E kunnan F kuntalaajennukseksi.
Otetaan esimerkiksi rationaalilukujen kunta, ja
lisätään siihen . Lopputulos on kunta,
jonka alkiot ovat muotoa
, missä
a,bÎ
. Tämä täyttää
vaadittavat ominaisuudet. Jos otetaan vastaavalla tavalla
mahdollisimman pieni kunta, joka sisältää
, saadaan kunta
, missä
a,b,cÎ
.
Tähän tarvittiin kolme komponenttia. Näiden
komponenttien määrää kutsutaan
kuntalaajennuksen asteeksi, ts. ensimmäisen
kuntalaajennuksen aste oli 2 ja toisen 3. Piirrettävät
reaaliluvut ovat selvästikin kunta, sillä ne
täyttävät annetut vaatimukset. Jos
lähdetään jostain piirrettävien reaalilukujen
osakunnasta, kuten rationaaliluvuista, ovat plus-, miinus-,
kerto-, ja jakolasku määriteltyjä kunnan
sisällä. Laajennus voi siis tapahtua ainoastaan
neliöjuuren ottamisen yhteydessä. Oletetaan, että
laajennus tehdään siten, että halutaan pienin
kunta, joka sisältää edellisen kunnan ja luvun
. Tällöin on kaksi vaihtoehtoa. Jos
kuuluu jo valmiiksi kuntaan, ei laajennusta tapahdu,
joten tätä tapausta ei tarvitse ottaa huomioon. Jos se
ei kuulu, tarvitaan lisää komponentteja. Jokaista
vanhan kunnan komponenttia x kohden täytyy uudessa kunnassa
olla kaksi komponenttia: x ja
. Tämän takia laajennuksen aste kaksinkertaistuu
aina täsmälleen silloin, kun joudutaan ottamaan
ei-neliöllisen luvun neliöjuuri. Lopputulos on se,
että jos otetaan pienin mahdollinen rationaalilukujen
kuntalaajennus, johon x sisältyy, niin x on
piirrettävä jos ja vain jos kuntalaajennuksen aste on
kakkosen potenssi. Yksi kuntalaajennusten teorian perustuloksista
on se, että jos otetaan pienin kunta, joka
sisältää jonkin tietyn jaottoman kolmannen asteen
polynomin minkä tahansa juuren, on tämän kunnan
laajennuksen aste rationaalilukujen yli 3. Koska 3 ei ole
kakkosen potenssi, saadaan sellainen käyttökelpoinen
tulos, että jos on olemassa kolmannen asteen
yhtälö, jolla ei ole rationaaliratkaisuja, ei sen
mitään juurta voida piirtää harpilla ja
viivaimella. Lähdettäessä rationaaliluvuista
laajennus voi syntyä neliöjuuren ottamisen
yhteydessä. Tämä tuplaa kuntalaajennuksen asteen.
Lopputulos on se, että jos otetaan pienin mahdollinen
rationaalilukujen kuntalaajennus, johon x sisältyy,
niin x on piirrettävä jos ja vain jos
kuntalaajennuksen aste on kakkosen potenssi. Tästä
saadaan sellainen käyttökelpoinen tulos, että jos
kolmannen asteen rationaalikertoimisella yhtälöllä
ei ole rationaalijuuria, sen mikään juuri ei ole
piirrettävä.
Matematiikassa klassisiksi ongelmiksi kutsutaan kolmea geometrista konstruktio-ongelmaa: kuution kahdentamista, kulman jakoa kolmeen osaan ja ympyrän neliöintiä. Suhteessa ongelmien ikään onkin yllättävää, että niiden mahdottomaksi todistamiseen tarvitaan niinkin uutta matematiikan haaraa kuin abstraktia algebraa.
Viimenumeron pääkirjoituksessa mainitun legendan
mukaan jumalat vaativat, että kuution muotoisen alttarin
tilavuus pitäisi kahdentaa. Piti siis muodostaa vanhan
alttarin sivua käyttäen uuden, tilavuudeltaan
kaksinkertaisen alttarin sivu. Tähän kreikkalaiset
eivät kuitenkaan harpilla ja viivaimella
tietenkään pystyneet. Olkoon alkuperäisen alttarin
sivun pituus yksikköjana. Tällöin
yritetään piirtää luku, joka toteuttaisi
yhtälön x3-2=0. Tällä
yhtälöllä ei ole rationaalijuuria, sillä
mikään mahdollisista vaihtoehdoista (-2, -1, 1, 2) ei
toteuta yhtälöä. Sen juuri ei siis ole piirrettävä luku.
Kulman jako kahteen osaan on helppoa, mutta kulman jakaminen kolmeen osaan on tietyissä tapauksissa mahdotonta. Piirretään annettu kulma 3a yksikköympyrään käsittelyn helpottamiseksi. Kun tiedetään kulma 3a, tiedetään myös cos 3a. Kulma a on piirrettävissä täsmälleen silloin, kun cos a on piirrettävissä. Nyt saadaan kolmannen asteen yhtälö:
cos 3a = 4 cos3 a - 3 cos a
4 x3-3x-t=0
(x = cos a, t = cos 3a)
Jos valitaan 3a=90°, saadaan yhtälö 4
x3-3x=0, jolle löytyy
piirrettävä ratkaisu /2. Suora kulma
voidaan siis jakaa kolmeen osaan. Sen sijaan valinta 3a=60° antaa
yhtälön 8 x3-6x-1=0, jolla ei ole rationaalisia juuria. 60° kulmaa ei siis voida jakaa kolmeen
yhtä suureen osaan. Tämä vastaesimerkki
riittää osoittamaan, että yleistä tapaa jakaa
kulma kolmeen yhtä suureen osaan ei ole.
Suorakulmion neliöinti tarkoittaa sitä
toimenpidettä, kun muodostetaan neliö, jonka pinta-ala
on sama kuin annetun suorakulmion. Tämä voidaan
suorittaa melko helposti, koska tällaisen neliön
pinta-alahan on sivujen tulojen neliöjuuri. Ympyrän
neliöinnissä on vastaavasti muodostettava neliö,
jonka pinta-ala on sama kuin annetun ympyrän. Jos annetun
ympyrän sädettä käytetään
yksikköjanana, on ympyrän pinta-ala p, jolloin neliön sivun pituus on . Jos luku
on
piirrettävä, myös luku p on piirrettävä. Tällöin
kunta, joka sisältää luvun p on n asteen kuntalaajennus.
Tällöin kuitenkin olisi olemassa rationaalikertoiminen
n asteen polynomi, jonka nollakohta p olisi. Tämä on ristiriita, sillä
p on transsendenttinen luku, mikä
tarkoittaa sitä, että ei ole olemassa mitään
rationaalilukukertoimista polynomia, jonka nollakohta p olisi. Tämä voidaan ilmaista,
myös siten, että transsendenttisen luvun
sisältävän kunnan laajennuksen aste on ¥, joka ei ole kakkosen potenssi.
Samalla tavalla kuin kulman jaossa kolmeen osaan,
säännöllisten monikulmioiden piirtäminen on
mahdollista tietyissä erikoistapauksissa, mutta
yleisessä tapauksessa se ei onnistu. Tässä
tapauksessa käsittelyyn tarvitaan lisäksi
Galois'n-teoriaa2),
joka tunnetaan parhaiten
siitä, että sillä voidaan osoittaa se, että
yli neljännen asteen yhtälöille ei ole
yleistä ratkaisukaavaa juurten avulla. Monikulmion
konstruoimiseen vaaditaan hieman samaan tapaan kuin kulman jaossa
kolmeen osaan luvun konstruointia, ja
Galois'n-teorian avulla voidaan osoittaa, että
pienimmän kunnan, joka sisältää
laajennuksen aste on
, jossa f(n) on Eulerin
f-funktio. f(n) merkitsee
niiden lukujen määrää, jotka ovat
pienempiä kuin n, ja niillä ei ole yhteisiä
tekijöitä n kanssa. Otetaan esimerkiksi f(15).
Luvuilla 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13 ja 14 ei ole yhteisiä
tekijöitä 15 kanssa, siispä f(15) = 8.
Kuten aikaisemminkin, laajennuksen asteen on oltava kakkosen
potenssi. Tässä tapauksessa siis
säännöllinen n-kulmio (n ³ 3) on piirrettävä, mikäli
on kakkosen potenssi. Tämän voi
ilmaista myös toisella tavalla siten, että
n-kulmio on piirrettävä, jos sen kakkosesta
poikkeavat tekijät ovat Fermatn alkulukuja (kuitenkin
eri alkulukuja). Fermatn alkuluvuksi kutsutaan alkulukua
muotoa
. Näin ensimmäiset
ei-piirrettävät monikulmiot ovat 7-, 9-, 11-, 13- ja
14-kulmiot. Kun n kasvaa, piirrettävien
n-kulmioiden osuus pienenee. Piirrettäviä
monikulmioita on kuitenkin hyvin isoilla n arvoilla, kuten
esimerkiksi 65537-kulmio (65537 on Fermatn alkuluku).
Tällainen puhtaan algebrallinen lähestymistapa ei
kuitenkaan kerro itse konstruoinnin tapahtumisesta
mitään. Tällaisessa tapauksessa tieto, että
65537-kulmio voidaan konstruoida on varmasti hyödyllisempi
kuin tarkka selitys siitä miten se tapahtuisi.
[1] Pogorelov, A.; Geometry. Mir Publishers 1987
[2] Hanneken, C. B.; Introduction to Abstract Algebra. Dickenson Publishing Company, Inc., Belmont, California 1968